revisa si la sucesión es convergente o divergente por los 5 primeros términos: d. 𝒂n = (−1)^n −2^n

Para determinar si la sucesión \( a_n = (-1)^n - 2^n \) es convergente o divergente, primero examinaremos los primeros cinco términos de la sucesión. Luego, analizaremos el comportamiento de la sucesión a medida que \( n \) tiende a infinito.

### Calculando los primeros cinco términos

Para \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \), calculamos \( a_n \):

1. **Para \( n = 1 \):**
   \[
   a_1 = (-1)^1 - 2^1 = -1 - 2 = -3
   \]

2. **Para \( n = 2 \):**
   \[
   a_2 = (-1)^2 - 2^2 = 1 - 4 = -3
   \]

3. **Para \( n = 3 \):**
   \[
   a_3 = (-1)^3 - 2^3 = -1 - 8 = -9
   \]

4. **Para \( n = 4 \):**
   \[
   a_4 = (-1)^4 - 2^4 = 1 - 16 = -15
   \]

5. **Para \( n = 5 \):**
   \[
   a_5 = (-1)^5 - 2^5 = -1 - 32 = -33
   \]

### Analizando el comportamiento de la sucesión

Observemos los primeros términos calculados: \(-3, -3, -9, -15, -33\).

Notamos que a medida que \( n \) aumenta, los términos de la sucesión disminuyen en valor, y en magnitud parecen alejarse de cualquier valor finito fijo. Esto sugiere que la sucesión puede ser divergente.

### Comprobación de convergencia o divergencia

Para verificar formalmente la convergencia o divergencia de la sucesión, consideremos el límite cuando \( n \) tiende a infinito:

\[
\lim_{{n \to \infty}} a_n = \lim_{{n \to \infty}} \left((-1)^n - 2^n\right)
\]

El término \( (-1)^n \) oscila entre \(-1\) y \(1\), pero \(2^n\) crece exponencialmente a medida que \(n\) se hace muy grande. Por tanto, el término \( -2^n \) dominará el comportamiento de la sucesión y hará que \(a_n\) tienda a \(-\infty\).

Entonces:

\[
\lim_{{n \to \infty}} a_n = -\infty
\]

### Conclusión

La sucesión \( a_n = (-1)^n - 2^n \) es **divergente** porque sus términos tienden a \(-\infty\) a medida que \( n \) tiende a infinito.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué significa que una sucesión sea convergente?
2. ¿Cómo se determina si una serie infinita es convergente o divergente?
3. ¿Qué es una sucesión oscilante?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión monótona creciente y decreciente?
5. ¿Cómo afecta el crecimiento exponencial al comportamiento de una sucesión?

**Tip:** Siempre analiza el comportamiento al infinito para entender la convergencia o divergencia de una sucesión.

Aprende a determinar si la sucesión 𝒂n = (−1)^n −2^n es convergente o divergente utilizando los primeros cinco términos y análisis de límites. Este problema cubre conceptos matemáticos clave como secuencias, convergencia y divergencia, adecuado para estudiantes de secundaria.

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